Bilangan real mempunyai banyak pemakaian, misal setengah keuntungan usaha Anton tahun 2007 digunakan untuk menambah modal usaha. Jika keuntungan usaha Anton pada tahun 2007 adalah Rp 100.000.000, maka modal usaha Anton pada tahun 2007 bertambah sebesar.
Penambahan modal usaha Anton tersebut, juga dapat dinyatakan dalam bentuk persen (%), yaitu 50% dari keuntungan pada tahun 2007. Besarnya kerugian suatu usaha juga dapat dinyatakan dengan menggunakan bilangan real negatif. Pada bab ini akan dipelajari tentang bilangan real dan operasi yang dapat dilakukan pada bilangan real.
Operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real tersebut meliputi: operasi pada bilangan bulat dan pecahan, operasi pada bilangan berpangkat, menerapkan operasi pada bilangan irrasional (bentuk akar), operasi pada logaritma. Selain itu, juga dibahas konversi bilanganbilangan bulat dan bilangan pecahan ke atau dari bentuk persen, pecahan desimal, pecahan campuran. Pada bab ini juga dibahas masalah perbandingan, skala, dan persen.
A. BILANGAN REAL
Sistem bilangan merupakan dasar matematika. Oleh karena itu, sangatlah penting untuk mengenal berbagai jenis bilangan dan perbedaan di antara bilangan-bilangan tersebut. Dalam sub-bab ini akan dikenalkan mengenai dasar dan istilah yang berkaitan dengan bilangan asli, cacah, bulat, rasional, irrasional, dan real.
1. Bilangan Asli
Dalam keseharian, biasanya orang membilang mulai dari satu, dua, tiga, dan seterusnya. Bilangan – bilangan ini dinamakan bilangan asli. Himpunan bilangan asli (natural) biasa dilambangkan dengan N, adalah suatu himpunan yang anggotanya bilangan asli, seperti dituliskan berikut ini.
N = {1, 2, 3, 4, 5, ... }
2. Bilangan Cacah
Jika bilangan 0 dimasukkan dalam himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut dinamakan himpunan bilangan cacah, dan dilambangkan dengan H, yaitu:
H = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Setiap bilangan asli juga merupakan bilangan cacah, akan tetapi bukan sebaliknya.
3. Bilangan Bulat
Bilangan asli 7 dapat juga dituliskan dengan memberikan tanda + didepannya menjadi +7. Jadi bilangan 7 dan +7 adalah sama. Namun demikian, tanda + tidak biasa dituliskan. Dalam perhitungan banyaknya suatu objek, sering dijumpai adanya kekurangan objek. Misal jumlah apel dalam suatu kardus seharusnya 100 buah apel, ternyata setelah dilakukan penghitungan banyaknya apel ada 97 buah. Jadi ada kekurangan buah apel sebanyak 3 buah. Untuk menyatakan kekurangan 3 buah apel ini dapat dituliskan dengan symbol -3 buah apel. Selanjutnya didefiniskan suatu bilangan negatif –n dengan n adalah bilangan asli. Himpunan bilangan yang dinotasikan dengan lambang Z dan mempunyai anggota seperti berikut ini dinamakan himpunan bilangan bulat (integer).
Z = {... ,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... }
Setiap bilangan cacah juga merupakan bilangan bulat, akan tetapi bukan sebaliknya. Himpunan bilangan asli merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan cacah, begitu juga himpunan bilangan cacah merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat
.
4. Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional, dinotasikan dengan lambang Q. Bilangan rasional berbentuk pembagian bilangan bulat antara pembilang (numerator) dan penyebut (denominator).
5. Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional atau bilangan bukan rasional yaitu bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian bilangan bulat.
6. Bilangan Real
Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut himpunan bilangan real dan dinotasikan dengan R. Bilangan real dapat dikaitkan dengan titik pada sebuah garis. Garis ini mempunyai arah ke kanan dan ke kiri. Dipilih sebuah titik acuan 0 pada garis tersebut, yang disebut titik awal. Titik acuan awal ini yang berkaitan dengan bilangan real 0. Dari titik acuan 0, garis arah ke kanan sebagai arah positif dan titik pada garis arah positif ini menyatakan sebuah bilangan real positif. Dari titik acuan 0 ke arah kiri sebagai arah negatif dan titik pada garis arah negatif ini menyatakan sebuah bilangan real negatif.
Dengan sembarang satuan pengukuran, setiap bilangan real positif x Dengan sembarang satuan pengukuran, setiap bilangan real positif x dinyatakan dengan suatu titik yang berjarak x satuan ke arah kanan dari titik awal, dan setiap bilangan real negatif –x dinyatakan dengan titik yang berjarak x satuan ke arah kiri dari titik awal.
7. Bilangan Kompleks
Kuadrat suatu bilangan real selalu tak negatif. Oleh karena itu persamaan tidak mempunyai penyelesaian dalam bentuk bilangan real. Pada abad XVIII para matematikawan memperbaiki permasalahan tersebut dengan memperkenalkan bilangan baru, yang dinotasikan dengan dan didefinisikan sebagai .
Definisi ini selanjutnya mengarah pada perkembangan bilangan kompleks, yaitu bilanganbilangan yang berbentuk a + bi dengan a dan b bilangan real.
Perhatikan bahwa setiap bilangan real a juga merupakan bilangan kompleks karena dapat ditulis sebagai a = a + 0i. Jadi, himpunan bilangan real adalah himpunan bagian dari bilangan kompleks. Bilangan kompleks yang bukan bilangan real disebut bilangan imajiner. Pada buku ini, bilangan kompleks hanya ditampilkan sebagai perkenalan, dan tidak akan dibahas lebih mendalam.
B. OPERASI PADA BILANGAN REAL
Sebelum ini, kita telah dikenalkan dengan jenis bilangan, yaitu bilangan asli, cacah, bulat, rasional, irrasional, real, dan kompleks. Untuk selanjutnya, bilangan yang akan dibahas adalah bilangan real. Pada sub bab ini akan diperkenalkan operator dan sifat-sifat operasi dasar pada bilangan real. Beberapa operator yang dapat dikenakan pada bilangan real adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian,dan pembagian.
1. Operasi Penjumlahan (+)
Jika a, b merupakan bilangan real atau a,b anggota R maka hasil penjumlahan antara a dan b adalah bilangan real c dan ditulis c = a +b.
Sifat operasi penjumlahan
Untuk bilangan real a, b, dan c, berlaku sifat-sifat operasi penjumlahan sebagai berikut
a. Sifat tertutup
Penjumlahan dua buah bilangan real menghasilkan bilangan real juga.
b. Sifat komutatif
a + b = b + a
c. Sifat asosiatif
(a + b) + c = a + (b + c)
d. Adanya elemen identitas/netral
a + 0 = 0 + a = a
Bilangan 0 dinamakan elemen identitas untuk penjumlahan.
e. Adanya elemen invers
a + (-a) = 0 , bilangan -a dikatakan invers penjumlaha
2. Operasi Pengurangan (-)
Jika a,b anggota R maka hasil pengurangan / selisih antara a dan b adalah bilangan real c dan ditulis c = a – b = a + (-b).
Cara mendapatkan hasil pengurangan secara geometris
Letakkan bilangan pertama a pada garis bilangan.
Untuk b > 0, langkahkan ke kiri sejauh (sebanyak) bilangan kedua b. Untuk b < 0,langkahkan ke kanan sejauh bilangan -b. Untuk b=0, a-b=a.
3. Operasi Perkalian (× atau ·)
Jika a,b anggota R maka hasil perkalian antara a dan b adalah bilangan real c dan ditulis
c = a × b = a·b = ab .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar